鶴亀算 [和算]
「鶴亀算」は文章題の解き方の一つで、未知数x, yを使った連立方程式を使えない小学校の算数で習った記憶があります。
例えば、「鶴と亀が合わせて35頭います。足の数の合計が94足のときにそれぞれの頭数を答えなさい。」というようなものです。
解き方として以下のように習った記憶があります。
「35頭すべてが鶴だと仮定すると足の数は70足になります。ところが足の数の合計は94足なので24足足りません。鶴を1頭亀に置き換えると足の数が2足増えます。足りない24足を補うには24/2=12頭置き換えればよいことが分かります。従って鶴は35-12=23頭、亀は12頭ということになります。」
これは元々中国の紀元３世紀頃（西晋-東晋）の数学書『孫子算経』に原型が見られ、原文はこうなっています。
今有雉、兔同籠，上有三十五頭，下九十四足。問雉、兔各幾何
答曰：雉二十三。兔一十二。
術曰：上置三十五頭，下置九十四足。半其足，得四十七。以少減多，再命之，上三除下三，上五除下五。下有一除上一，下有二除上二，即得。
又術曰：上置頭，下置足。半其足，以頭除足，以足除頭，即得。
雉と兎ですね。
さて、今日ちょっと調べ物があって私が持っている江戸時代の和算書をめくっていたのですが、こちらにも鶴亀算が載っています。天保五年（1834年）刊の『算法新書』（千葉雄七胤秀著）です。
以前記事にしたときの写真を再掲します。
木版とは思えないほどの精密さです。
さて、鶴亀算の部分はこうなっています。スキャナで取り込んで加工してあります。
鶏と兎です。（挿絵は『北斎漫画』より取って入れました。）
変体仮名は慣れないと読みづらいですが、おおよその意味はとれますね。
鶏と兎が合わせて100頭、足の数が合わせて284本、鶏と兎の数各々何程と問う。
答 鶏58羽、兎42匹
術に曰く 鶏1羽の足2へ頭数100を掛けて200を得る。以て足数284の内より引き、残り84、（これを）実とする。
兎1匹の足4の内、鶏1羽の足2を引いた残り2を以て実を割り、兎の匹数を得る。
得た数を100の内より引いて鶏の羽数を得る。
図解も付いていて親切です。よろしければ読んでみて下さい。
送り仮名が付いていますが、「問題、答え、解き方」という記述のスタイルが『孫子算経』と同じということが興味深いですね。
鶴と亀になったのは恐らく江戸時代の日本においてだと思われますが、出典は不明です。ひょっとすると明治以降かも知れません。
今日は仕事が多忙につき楽器の練習をお休みしました。
（追記2010.10.14.）
yablinskyさんがコメントしていらっしゃいますが、関孝和（1642-1708）は日本が生んだ世界に誇る数学者です。その研究は西洋に先んじていたものもあります。和算は鎖国の日本で独自の発展を遂げましたが、暦との関係をのぞいて実学と結びつかなかったところが廃退の大きな原因でしょうか。明治維新で浮世絵を初めとして多くの日本独自の文化が捨てられてしまいました。それも原因の一つですね。
『算法新書』の著者、千葉雄七胤秀（1775-1849）は関流の和算家です。
例えば、「鶴と亀が合わせて35頭います。足の数の合計が94足のときにそれぞれの頭数を答えなさい。」というようなものです。
解き方として以下のように習った記憶があります。
「35頭すべてが鶴だと仮定すると足の数は70足になります。ところが足の数の合計は94足なので24足足りません。鶴を1頭亀に置き換えると足の数が2足増えます。足りない24足を補うには24/2=12頭置き換えればよいことが分かります。従って鶴は35-12=23頭、亀は12頭ということになります。」
これは元々中国の紀元３世紀頃（西晋-東晋）の数学書『孫子算経』に原型が見られ、原文はこうなっています。
今有雉、兔同籠，上有三十五頭，下九十四足。問雉、兔各幾何
答曰：雉二十三。兔一十二。
術曰：上置三十五頭，下置九十四足。半其足，得四十七。以少減多，再命之，上三除下三，上五除下五。下有一除上一，下有二除上二，即得。
又術曰：上置頭，下置足。半其足，以頭除足，以足除頭，即得。
雉と兎ですね。
さて、今日ちょっと調べ物があって私が持っている江戸時代の和算書をめくっていたのですが、こちらにも鶴亀算が載っています。天保五年（1834年）刊の『算法新書』（千葉雄七胤秀著）です。
以前記事にしたときの写真を再掲します。
木版とは思えないほどの精密さです。
さて、鶴亀算の部分はこうなっています。スキャナで取り込んで加工してあります。
鶏と兎です。（挿絵は『北斎漫画』より取って入れました。）
変体仮名は慣れないと読みづらいですが、おおよその意味はとれますね。
鶏と兎が合わせて100頭、足の数が合わせて284本、鶏と兎の数各々何程と問う。
答 鶏58羽、兎42匹
術に曰く 鶏1羽の足2へ頭数100を掛けて200を得る。以て足数284の内より引き、残り84、（これを）実とする。
兎1匹の足4の内、鶏1羽の足2を引いた残り2を以て実を割り、兎の匹数を得る。
得た数を100の内より引いて鶏の羽数を得る。
図解も付いていて親切です。よろしければ読んでみて下さい。
送り仮名が付いていますが、「問題、答え、解き方」という記述のスタイルが『孫子算経』と同じということが興味深いですね。
鶴と亀になったのは恐らく江戸時代の日本においてだと思われますが、出典は不明です。ひょっとすると明治以降かも知れません。
今日は仕事が多忙につき楽器の練習をお休みしました。
（追記2010.10.14.）
yablinskyさんがコメントしていらっしゃいますが、関孝和（1642-1708）は日本が生んだ世界に誇る数学者です。その研究は西洋に先んじていたものもあります。和算は鎖国の日本で独自の発展を遂げましたが、暦との関係をのぞいて実学と結びつかなかったところが廃退の大きな原因でしょうか。明治維新で浮世絵を初めとして多くの日本独自の文化が捨てられてしまいました。それも原因の一つですね。
『算法新書』の著者、千葉雄七胤秀（1775-1849）は関流の和算家です。
鶴亀算って歴史あるんですね～。
鶴亀算って逆にわかりにくかった覚えがあります。
ＸとＹで計算した方がやりやすかったです。
うちの嫁さんも同じ意見でした。
by genpati (2010-10-13 23:54)
鶴と亀の足、一目瞭然じゃん、何で区別つかないの？と思ってました。
子供のころからひねくれていました。。。
by わた (2010-10-14 00:19)
鶴亀算に関してはよく知りませんが、関孝和の和算は調べたことがあります。
パイを１０桁求めたり、そのとき、１９５０年ごろのシャンクス変換をこの時代に使っていたり、天才です！
by yablinsky (2010-10-14 00:36)
こんばんは。
実は中学受験をしましたので、鶴亀算はシコタマ
練習をさせられました。
おかげで、方程式を使わずに要領だけで解けます＾＾
ただ、それ以上に『算法新書』を持っておられるのが
びっくりです。
by perseus (2010-10-14 00:58)
あぁ・・・クラクラしました；
小学1年生から、x、y、パーまで使わされてたのに、
中学前にて急に鶴亀算・・・キツかったです！
とっても貴重な文献をお持ちですね！
by 雨香 (2010-10-14 01:47)
鶴亀算は、自分も勉強しましたが、
娘に教えた思い出があります♪
でも、実は、数学は大の苦手です(>_<)
by hirochiki (2010-10-14 05:27)
すごいですね～
頭のよいかたは、今も昔も変わらないんですね☆
いや・・・むしろ昔の方のほうが頭がいいのでは！？
現代人は、いろいろあり過ぎて考えることが少なくなって
いる気がします(>_<)
by 父ちゃん (2010-10-14 06:02)
鶴亀算、植木算、年齢算、通過算、旅人算
まだあったと思いますが、方程式を覚えたら
あの努力はなんだったのか？と怒ったっけなあ＾＾
なんてことを思い出してしまいました☆
by やまがたん (2010-10-14 06:21)
鶴亀算・・・なつかしい言葉ですね。
子供の頃、算数が苦手で苦労した記憶があります。＾＾；）
それにしても、江戸時代の和算書って
凄い物をお持ちなんですね。
（ウサギさんのイラストがカワイイ！）
by Ｄａｉｋｏｎ (2010-10-14 06:36)
なつかしい！
というか江戸時代でそんな数学書が？
というかnyankomeさんちに古書が！
びっくり＆考えさせられる記事でした。
捨てるのは一瞬ですが、継続は本当に大変ですよね。
(文化も建築物も、夢も。。。）
by リン (2010-10-14 07:09)
鶴亀算、娘たちと頭をひねって解きました。
自分はたぶん経験していません。
（算数を楽しく学ぶ本で見た記憶もあるのですが。）
by Cecilia (2010-10-14 10:33)
こんにちは
凄い
そんなに古くから鶴亀算の考え方が
あったんですね☆
江戸時代のものをお持ちなのですね～
これまた希少価値のあるものを
拝見できてうれしいです～☆
by スマイル (2010-10-14 11:32)
鶴亀算ですか。懐かしいです。
by 水郷楽人 (2010-10-14 12:55)
問い、答え、解説の形式はとてもよいですよね。
問いを見て自分の知識を元に考え、答えを見てどういったプロセスを経て
そこへ行き着いたのか考察し、解説を見て納得する。
この一連の流れがあって、本当に「理解する」という事に繋がると思うんです。
3世紀の頃には、もうそういった考えが確立していたんだなぁ…奥深いっス。
by Caelum (2010-10-14 14:10)
始めはリンゴの数から始まり鶴亀算でで楽しく算数を教われますね。
とにかく楽しくが大事なのでしょうね。^^
by ナビパ (2010-10-14 18:23)
鶴亀算は言葉は知ってるけど習った記憶は…
算数はわりと得意だったんですがまったく覚えがありません＾＾；
勉強になりました。
by 土芽 (2010-10-14 19:58)
コメント消えてる？
by 土芽 (2010-10-14 20:37)
鶴亀算は良く分かんないです？(^^;;
と言うか、算数(数学)と英語は苦手なので全く頭に取り入れようとしなかったので。
by えーちゃんaaa (2010-10-14 20:39)
鶴亀算と云うと
私は、中学時代の数学の先生を思い出します・・・
その先生は、私達に難しく考えないで、
すこしでも興味を持たせ用とされたのだと思うのですが
何時も始める前に、
「おまえ達なぁ～、よぉーく考えてみろ！
必ずしも、俺のように性格の良い鶴ばっかしとは限らんゾ！
何羽もいる中に、片足で立ってるヤツもいるかもしれしんナァー
亀なんか、考えてみろぉーーー
手足引っ込めて甲羅の中に入ってたら・・・
こんな計算できっこない余ナァーーーーー」
とか、
追っかけ算なんかの時なんかにも
「もし、先に出発したＡ君が、途中で立ちションしてたら・・・」
ってな具合で・・・
でも、
「そんでもなぁー
そんな面倒くさいもんを解くのが、
今のおまえ達の仕事なんじゃしなぁー
しゃあないで、やるかぁーーーー」
ってな調子で、
お陰で数学が隙になったのも事実で ・ ・ ・
by miopapa (2010-10-14 20:47)
鶴亀算、日本人の特徴ある思考方法のひとつですね。
これは、他の国の人にはややこしくて嫌がるでしょう。
連立方程式があるのに、云々って・・。
ここに、日本人が精密な工学や応用科学に強い理由かも
知れませんね。
by matcha (2010-10-14 21:27)
数学に強い人と音楽に強い人には共通するものがあるらしいです。
by センニン (2010-10-14 21:46)
鶴亀算は，いわばextremal caseを考える思考法ですから，方程式で機械的に解くよりもレベルがずっと高いのですね。欧米人のほうが便利なツールを使いがちですから。
日本の数学や理論物理のレベルが高いのはこのあたりに元祖があるのかも知れません。実学と結びつかなくても独自の発展を遂げていればよかったのですが，１人の天才が出ても，その学問を存続するのは中々むずかしいものですね。
歴史は繰り返すというか，ここ数年，すぐ役立たないものがどんどん切り捨てられて行きます。すぐ役立つものなど，すぐ役立たなくなるのは明白なんですが。
by Enrique (2010-10-15 15:41)
「鶴亀算」では無く「雉兎算」の日本初出は「因帰算歌」のようですね。
鶴亀になったのは、「鶴は千年亀は万年」のように、お目出度い生物だから？
by 奇士 (2010-10-15 22:00)